[BOJ] 9020 골드바흐의 추측

https://www.acmicpc.net/problem/9020

문제 내용----

1보다 큰 자연수 중에서  1과 자기 자신을 제외한 약수가 없는 자연수를 소수라고 한다. 예를 들어, 5는 1과 5를 제외한 약수가 없기 때문에 소수이다. 하지만, 6은 6 = 2 × 3 이기 때문에 소수가 아니다.

골드바흐의 추측은 유명한 정수론의 미해결 문제로, 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 것이다. 이러한 숫자를 골드바흐 숫자라고 한다. 또, 짝수를 두 소수의 합으로 나타내는 표현을 그 숫자의 골드바흐 파티션이라고 한다. 예를 들면, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11, 14 = 7 + 7이다. 10000보다 작거나 같은 모든 짝수 n에 대한 골드바흐 파티션은 존재한다.

2보다 큰 짝수 n이 주어졌을 때, n의 골드바흐 파티션을 출력하는 프로그램을 작성하시오. 만약 가능한 n의 골드바흐 파티션이 여러 가지인 경우에는 두 소수의 차이가 가장 작은 것을 출력한다.

----

정보 수집----

골드바흐 숫자 : 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있는 수

골드바흐 파티션 : 짝수를 두 소수의 합으로 나타내는 표현

사진 출처 - 위키피디아(https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%A8%EB%93%9C%EB%B0%94%ED%9D%90%EC%9D%98_%EC%B6%94%EC%B8%A1)

문제 접근---

 파스칼 삼각형처럼 생긴 삼각형에서 중앙의 숫자들을 기준으로 점들이 있다. 가까울 수록 두 소수의 차가 작다.

주어진 수는 무조건 짝수이므로 2로 나눠준다. 이를 base로 지칭하자.

base + base = even(주어진 짝수)이다.

이럴 경우 두 소수의 차이는 0이 되므로 가장 작다.

그렇지 않은 경우를 생각해보자.

사진상의 오른쪽 빨간 막대를 base값으로 두고 파란색 막대기를 pair로 두자.

base + base != even일 경우에는 base의 값을 현재 base보다 큰 소수로 바꿔준다.(빨간 막대기가 한칸 내려간다는 것을 의미한다.)

빨간 막대기의 값이 커졌으므로 파란 막대기의 값은 당연히 작아져야한다. (빨간+파랑=주어진 짝수이기 때문)

pair = even - base가 되어야한다.

이때 base와 pair가 소수면 골드바흐 파티션이 된다.

----

code

#include <iostream>
#include <array>
using namespace std;
 
void partition(array<bool, 10001>& prime, int even){
        int pair = 0;               // base는 prime에 가깝게 커지며 match = even - base인 소수
        for(int base = even / 2; base < even; base++){
                pair = even - base;  // always pair smaller than base;
                if(!prime[pair] && !prime[base]){
                        cout << pair << " " << base << "\n";
                        return;
                }
        }
}
int main()
{
        cin.tie(0);
        cin.sync_with_stdio(false);
        int n;
        cin >> n;
 
        array<bool, 10001> prime{false};
 
        for(int i = 2; i*i <= 10001; i++){
                if(prime[i] == false){
                        for(int j = i*i; j <= 10001; j+=i)
                                prime[j] = true;
                }
        }
 
        for(int cnt = 0; cnt < n; cnt++){
                int num;
                cin >> num;
 
                partition(prime, num);
        }
        return 0;
}